یادگیری گام به گام حد

[mahya]

تاریخچه:

ریاضی دانان حتی قبل از این که بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند در مورد آن بحث میکردند . یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشتنه اند .

مثلا ارشمیدس مقدر تقریبی 2پی را بااستفاده از محیط چندضلعی ها منتظم محاط در دایره به شعاع واحد وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست آوردن.در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای به دست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتون و لابنیس در قرن هفدهم درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند اما نه آنها و نه در آن قرن دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال آلبمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه ی منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حد است کشی شوارتس در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را ارائه داد:


((وقتی که مقادیر متوالی که به یک متغیر نسبت داده میشود بی نهایت به عدد ثابتی تزدیک شوند به طوری که اختلاف آنها از مقادیر ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد.این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر میگویند.))


اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت.

تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دقیق حد را مطرح کرد که همواره مورد استناد ریاضی دانان است.
__________________

[mahya]

حدود عددی:

هنگامی که میگوییم حد تابع (f (x در نقطه ای به طول A برابر L است بدین معنا است که اگر X در یک همسایگی محذوف متقارن عدد A به شعاع مقدار بسیار کوچک و مثبت دلتا قرار خوهد گیرد (f (x در یک همسایگی متقارن L به شعاع مقدار بسیار کوچک و مثبت اپسیلن قرار خواهد گرفت و دراین راه برای هر اپسیلن دلخواهی دلتا بدست خواهد امد.

بنابراین در تعریف حد X همواره یک عدد حدی است اما جواب حد با یک عدد حدی است و یا یک عدد مطلق است (توابع ثابت و جزء صحیح)

[mahya]

حدود یکطرفه :

منظور از حد راست F در یک نقطه به طول A آن است که X از سمت مقادیر بیشتر از A به A میل میکند و منظور از حد چپ F در نقطه ای به طول A آن است که از سمت مقادیر کمتر ازA به A میل کند.

تابع F به شرطی در A حد دارد که اولا حد چپ و راستش در A تعریف شده باشد یعنی X بتواند از دو طرف به A میل کنند ثانیا حد چپ و راستش در A برابر باشد.

جهش تابع : L1 - L2

هر جا قدر مطلق دیدیم آن میشکانیم و به یک تابع دو ضابطه ای در میآوریم به طوری که برای X های مثبت با علامت مثبت و برای X های منفی با علامت منفی و سپس به عدد A میل میدهیم.


میخواهیم ببینیم همسایگی جواب حد چیست ( چه L؟ )

الف: توابع خطی: هنگامی کهX به سمت ریشه عبارت می رود بهترین راه تجزیه عبارت است.

ب: توابع کسری : در اینجا صو رت کسر را به مخرجش تقسیم کرده و کسر را تفکیک میکنیم divide & distinguish
به طوری که اگر صورت را f و مخرش را g بنامیم خارج قسمتی به نام k و باقی مانده ای با نام r به ما میدهد. که برای تفکیک آن چنین عمل میکنیم :

f/g = k + r/g

ج: توابع مثلثاتی : قضاوت از روی صعودی یا نزولی بودن نسبت مثلثاتی است .
اگر نسبت مثلثاتی صعودی باشد کمان و نسبت باهم حرکت میکنند و اگر نزولی باشد کمان و نسبت عکس هم حرکت میکنند.

(cos (x : ربع اول و ربع دوم نزولی . ربع سوم و ربع چهارم صعودی است.
(sin (x : ربع دوم و ربع سوم نزولی. ربع اول و ربع چهارم صعودی است.
(tan (x : در هر چهار ربع مثلثاتی صعودی می باشد.
(cot (x : در هر چهار ربع مثلثاتی نزولی می باشد.

[mahya]

نتیجه :

در موارد زیر استفاده از حد چپ و راست الزامی است:

1. توابع رادیکالی فرجه زوج: هنگامی که Xبه سمت ریشه زیر رادیکال می رود.
2. توابع کسری: هنگامی که X به سمت ریشه مخرج می رود که ریشه صورت نیست.
3. توابع قدر مطلق: هنگامی که X به سمت ریشه داخل قدر مطلق می رود.
4. توابع جزءصحیح: هنگامی که X به سمت عدد صحیح کننده داخل براکت می رود.

نکات:

1. اگر حد یک تابع کسری در نقطه ای به طولa بینهایتی باعلامتی مشخص شود نشان میدهد که ریشه مضاعف مخرج بوده است که ریشه صورت نیست. یعنی A هم درمخرج تابع صدق میکند و هم در مشتق مخرج آن تابع.

2. ریشه مضاعف هر عبارت ریشه ساده آن عبارت است یعنی هم آن عبارت را صفر میکند و هم مشتق آن عبارت را.

3. در حدود قدر مطلق و جزءصحیح قانون کلی ورشدار و بگیر است یعنی ابتدا می بایست در همسایگی چپ یا راست تکلیف قدر مطلق و یا جزء صحیح را روشن کنیم و قدر مطلق یا جزءصحیح را برداریم سپس اقدام به گرفتن حد نماییم
__________________

[mahya]

صور مبهم : صفر/صفر


صفر = صفر حدی / صفر مطلق

بی معنی= صفر مطلق / صفر حدی

بی معنی= صفر مطلق / صفر مطلق

مبهم = صفر حدی / صفر حدی

اکنون به بررسی صفر حدی / صفر حدی می پردازیم :

1. استفاده از فاکتور گیری و تجزیه: در اینجا صورت و مخرج را تجزیه میکنیم و عوامل مشترک را حذف میکنیم.

2. استفاده از هم ارز بی نهایت کوچک : این هم ارز مخصوص هنگامی است که X به صفر میل می کند و برای اجرای آن کوچکترین درجه صورت را بر کوچک ترین درجه مخرج تقسیم می کنیم.

اگر درجه صورت بزرگتر از درجه مخرج باشد جواب حد صفر مطلق است.
اگر درجه صورت کوچکتر از درجه مخرج باشد جواب حد بینهایت است .
اگر درجه صورت و مخرج با هم برابر باشد جواب حد کسری از ضرایب X ها میشود.

نکته : میتوان در حدود عددی غیر صفر با تغییر متغیر حد عددی صفر ایجاد کرد و از هم ارز بینهایت کوچک استفاده کرد.

به طوری که : در ( lim f(x) = lim f( t+a وقتی X به سمت a میل میکند. x - a = t در نتیجه x = t + a و X به سمت صفر میل میکند.

3. قاعده hopital : در این قاعده به جای انکه حد صورت بر مخرج را محاسبه کنیم حد مشتق صورت را بر مشتق مخرج بدست می آوریم و این کار را تا جایی انجام میدهیم که در حدود صفر / صفر حداقل یکی از صفر ها یا یکی از بینهایت های صورت یا مخرج از بین میرود.

نکته: متغیر در حد عاملی است که میل میکند و هر چه به غیر از آن عدد ثابت محسوب می شود در قاعده هوپیتال از صورتو مخرچ نستب به متغیر مشتق میگیریم.

هوپیتال سازی:

در حالات ابهام :"صفر در بینهایت" و "بینهایت منهای بینهایت " نیز میتوان از هوپیتال استفاده کرد به شرطی که آنکه در ابتدا عبارت را به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت در آوریم.

در حالت "صفر در بینهایت" میتوانیم یکی از عبارات را معکوس کنیم تا عبارت به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت تبدیل شود.

در حالت "بینهایت منهای بینهایت" میتوانیم مخرج مشترک بگیریم تا عبارت به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت تبدیل شود.

و سپس در هر دو حالت میتوان از قاعده هوپیتال استفاده کرد.

[mahya]

استفاده از هم ارزی های مبهم مثلثاتی:

دو تابع را در نقطه ای هم ارز گویند که هر گاه حد نسبتشانA دربرابر 1 شود یعنی در حد هنگامی Xکه به سمتA میل میکند می توان به جای یکی از این توابع دیگری را قرار داد.

جدول هم ارزی ها اصلی به قرار زیر است





نکته : تنها جایی که از هم ارزی به هر شکل نمی توان استفاده کرد هنگامی است که پس از استفاده از هم ارزی عوامل حذف شوند و صفر باقی بماند که در مورد هم ارزی های مثلثاتی میتوان از هم ارزی های گروه 2 یا هم ارزی های ویژه یا هم ارزی های قوی و یا هم ارزی های گروه 2 مکلورن استفاده نمود .


اکنون به بیان هم ارزی های ویژه در هنگامی کهX یا U به صفر میل میکند میپردازیم:




نکته : هنگامی میبایست از هم ارزی گروه 2 استفاده نمود که هم ارزی گروه 1 جواب ندهد.

تذکر : هنگامی میتوان از هم ارزی گروه 1و 2 با هم استفاده نمود که عوامل در هم ضرب و یا تقسیم شده باشد.


برنولی:

این هم ارزی هنگامی استفاده می شود که با توان های بالا و یا رادیکالهایی با فرجه بالا مواجه باشیم که به قرار زیر است.

[mahya]

حدود عددی تابع معکوس:

داریم:



حدود عددی تابع مرکب:

ابتدا حد تابع درونی را بدست می آوریم و سپس حد تابع بیرونی را در جواب درونی محاسبه میکنیم


تذکر:

تابع زوج:


تابع فرد:


نکته بسیار مهم :
میدانیم مشتق تابع زوج تابعی است فرد و مشتق تابع فرد تابعی است زوج
پس اگر تذکر فوق در مورد مشتق چپ و راست مطرح گردد حالات بیان شده بالعکس خواهد بود.
__________________