مشتق گیری ضمنی

[فلفل نمك]

مشتق گیری ضمنی


وقتی معادله‌ای بر حسب y و y ، x را به عنوان تابعی مشتقپذیر از x تعریف کند، حتی در مواردی که نتوان y را از معادله بدست آورد، اغلب می‌تو‌ان با استفاده از قواعد مشتقگیری dy/dx را محاسبه کرد. در این مقاله ، نحوه این عمل را نشان می‌دهیم و به اختصار به ایده نهفته در پس این روش اشاره می‌کنیم، سپس از این روش استفاده می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاعده توان علاوه بر نماهای صحیح برای نماهای کسری هم برقرار است. معادله x = y2 رادر نظر بگیرید همانطور که مشاهده می‌شود معادله مذکور دو تابع مشتقپذیر از x را تعریف می‌کند، یکی y = √x دیگری y = -√x. برای محاسبه dy/dx بطور ساده از دو طرف x = y2 نسبت به x مشتق می‌گیریم و y را به عنوان یک تابع ، هر چند نامشخص ، مشتقپذیر از x تلقی می‌کنیم. با انجام این عمل داریم:
2ydy/dx = 1 و سپس dy/dx = 1/2y

[فلفل نمك]

تابعیت ضمنی
بیشتر معادلات ، معادلاتی دارند که y را بطور صریح بر حسب x بیان می‌کند. اما غالبا به معادلاتی بر می‌‌‌‌‌‌خوریم که y را بطور صریح بر حسب x به دست نمی‌دهند. در عین حال ، هر یک از این معادلات رابطه‌‌ای بین y و x تعریف می‌کنند. وقتی عدد معینی از دامنه مناسبی به جای x قرار گیرد، معادله حاصل یک یا چند مقدار برای y بدست می‌دهد. می‌توان جفتهای y و x حاصل را در صفحه مشخص و نمودار معادله را رسم کرد. نمودار معادله دلخواهی چون f(x,y) = 0 برحسب x و y ممکن است نمودار تابعی مانند y = f(x نباشد، زیرا شاید برخی از خطوط قائم آن را بیش از یک بار قطع کنند. با وجود این بخشهای مختلفی از خم f(x,y) = 0 می‌توانند نمودار تابعی از x باشند.
نمودار x2+y2-1 = 0 دایره‌‌‌ x2+y2 = 1 است کل این دایره نمودار هیچ تابعی از x نیست به ازای هر x واقع در بازه (1و1-) ، دو مقدار y بدست می‌آیند:
y = √1-x2 و y = - √1-x2

[فلفل نمك]

با وجود این نیم دایره‌های بالایی و پایینی نمودار توابع f(x) = √1-x2 و g(x) = √1-x2 هستند. هرگاه x بین 1 و -1 باشد، جفتهای (x,√1-x2) و (x,-√1-2) در معادله x2 + y2 = 1 صدق می‌کنند. همانطور که مشاهده می‌شود توابع g و f به ازای x بین 1 و -1 مشتق پذیر نیز هستند،
چون نمودارهای آنها در x=±1 مماس قائم دارند، این توابع در این نقاط مشتق پذیر نیستند.

[فلفل نمك]

یک سوال راهگشا برای درک مشتقگیری ضمنی
چه موقع می‌توان انتظار داشت که توابع مختلف (y=f(x که با رابطه f(x,y)=0 تعریف می‌شوند
مشتقپذیر باشند؟
* پاسخ: هنگامی که نمودار رابطه به اندازه کافی هموار باشد تا در هر نقطه آن خطی مماس وجود داشته باشد، از جمله این موارد وقتی است که فرمول F ترکیبی جبری از توانهای y,x باشد. برای محاسبه مشتق توابعی که بطور ضمنی تعریف می‌شوند، Y را به عنوان تابعی هر چند ناشناخته ، مشتق پذیر از x در نظر می‌گیریم و از دو طرف معادله نسبت به x مشتق می‌گیریم. این روش را مشتق گیری ضمنی می‌نامند.

[فلفل نمك]

کاربردها

* مشتقگیری ضمنی ، مشتق از مراتب بالا را هم بدست می‌دهد.
* کاربرد برای پیدا کردن خط مماس: همانگونه که قبلا دیدیم مشتقگیری ضمنی معمولا dy/dx را بر
حسب هم x و هم y بیان می‌کند. در این گونه موارد برای محاسبه شیب خم در نقطه معلومی
چون (x1,y1) ، باید در عبارت نهایی dy/dx مقادیرx1وy1را قرار دهیم.

[فلفل نمك]

* کاربرد در پیدا کردن خطهای قائم بر خم: در قانونی که چگونگی تغییر جهت نوری را که

از سطح یک عدسی می‌گذرد توصیف می‌کند، زاویه‌های مهم زوایایی هستند که نور در نقطه ورود با
خط عمود بر سطح می‌‌سازد. این خط را خط قائم در نقط ورود می‌نامند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال
، بنا به تعریف خط قائم بر یک خم مشتقپذیر در نقطه‌ای چون p صرفنظر از اینکه خم ،
نمایش سطح چه چیزی باشد، خط عمود بر مماس بر خم در p است.
* با استفاده از مشتقگیری ضمنی می‌توانیم قاعده توان را تعمیم دهیم تا نماهای کسری را
هم شامل شود.

[فلفل نمك]

گراف دو بخشی کامل:

گراف دو بخشی کامل یک گراف دو بخشی است که مجموع رئوس آن به دو مجموعه X و Y چنان افراز شده است و هر راس در ان به هر راس وصل شده است. گراف دو بخشی کامل را با نماد نشان می دهند که در آن m تعداد عناصر مجموعه X و n تعداد عناصر مجموعه Y است.

[فلفل نمك]

به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی کامل است.

[فلفل نمك]

قضیه: در گراف دو بخشی کامل همواره داریم: که در آن q اندازه گراف مذکور است.

[فلفل نمك]

برهان:
می دانیم گراف دارای m راس در یک مجموعه و n راس در مجموعه ای دیگر است.
تعداد کل راس ها P=m+n می باشد(مرتبه گراف). اما برای یافتن تعداد یالهای گراف دو بخشی کامل ابتدا تعداد کل یالهای یک گراف کامل از مرتبه P=m+n را محاسبه کرده سپس تعداد کل یالهایی که راس های دو مجموعه را در خود دو مجموعه به هم وصل می کند از آن کم می کنیم.