مطالب مهم و جالب در مورد رياضي

[فلفل نمك]

استخوان های نپر


برای محاسبه با چرتكه مهره های آن را كه غالباً چوبی هستند به سمت بالا و پایین حركت می دهند. چرتكه برای جمع و تفریق تقریباً وسیله ساده ای است اما فقط افراد ماهر می توانستند از آن برای ضرب استفاده كنند و انجام عمل تقسیم هم با استفاده از آن بسیار مشكل بود! پس از آن بسیاری از مردم برای كمك به انجام اعمال ضرب و تقسیم روی دستگاه های محاسبه پیچیده با چرخ دنده ها كار می كردند تا اینكه «جان نپر» اسكاتلندی با یك روش ساده تر و تقریباً موفق به میان آمد. وی قصد داشت محاسبه از اعداد بزرگ را برای طراحی ماشین های جنگی انجام دهد. وی یك دستگاه ساده را از میله ها طراحی كرده بود كه عمل ضرب را انجام می داد. این ماشین بعدها به استخوان های نپر معروف شد، زیرا از استخوان، چوب و صفحات كاغذی مسطح ساخته شده بود.
خط كش محاسبه كه در سال ۱۶۲۰ به وسیله «كانتور» ابداع شد، در سال ۱۶۲۲ به وسیله «ویلیام اوترد» تكمیل شد و هنوز هم برای به دست آوردن محاسبات تقریبی به كار می رود. در سال ۱۶۴۲ یك دانشمند فرانسوی به نام بلیس پاسكال اولین ماشین جمع و تفریق را اختراع كرد كه در آن از چرخ دنده های دندانه دار استفاده می شد. این دستگاه با چرخاندن چند صفحه شماره گیر كار می كرد. پس از آن سال ها این دستگاه در اداره ها و كارگاه ها استفاده می شد اما بسیار كند عمل می كرد و همچنین قادر به انجام عملیات پیچیده و سنگین نبود. در سال ۱۶۷۱ لایب نیتز، سازوكاری برای انجام دادن عمل ضرب به وسیله فرآیند جمع های مكرر ابداع كرد. ماشینی كه سازوكار ابداعی لایب نیتز را به كار گرفت اولین ماشینی بود كه به تعداد تجارتی تولید شد و به كار افتاد و همین ماشین در سال ۱۸۲۰ چنان اصلاح و تكمیل شد كه می توانست برای اعمال جمع، تفریق و ضرب یا تقسیم به كار رود.در سال ۱۹۰۲ فرانك استیون ماشینی اختراع كرد كه سازوكار ماشین لایب نیتز به صورتی فشرده تر در آن وارد شده بود. بعدها خود وی و یك مخترع آمریكایی همین ماشین را به صورت كامل تری درآوردند. در فاصله میان این سال ها ماشین های حساب گوناگون اختراع شد ولی جز یك یا دو استثنا اساس كار مابقی آنها چرخ دنده بود. چرخ دنده معمولی ۱۰ برآمدگی (دنده) بر محیط خود دارد كه مطابق ارقام صفر تا ۹ است.

[فلفل نمك]

ماشین حساب های امروزی


در دهه ۱۹۷۰ همه چیز تغییر كرد. دیگر هر كسی می توانست یك ماشین حساب الكترونیكی جیبی همراه خود داشته باشد. این دستگاه ها قادرند عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را به محض فشار دادن دكمه ها انجام دهند. ماشین حساب های پیشرفته تر بر حسب نیاز محاسبات مشكل تر را نیز انجام می دهند.امروز، ماشین حساب ها در قالب های مختلف و برای محاسبات عددی استفاده می شوند و ممكن است مكانیكی، الكترونیكی و الكترومكانیكی باشند. حسابگرهای الكترونی نیز ماشین حساب هستند ولی اعمال دیگری را نیز انجام می دهند. ماشین حساب های الكترونیكی لزوماً به باتری نیاز ندارند بلكه بعضی با نور خورشید كار می كنند. بعضی از ماشین حساب های الكترونیكی كه مورد استفاده صندوقداران شركت ها هستند برای محاسبه قیمت كالاها به آنها كمك كرده و نتیجه محاسبه ها را روی یك قطعه كاغذ چاپ كرده، بیرون می فرستد، باقی مانده پول را نیز حساب می كنند.در بعضی ماشین حساب ها نیز نتیجه محاسبات روی نواری ثبت می شود مانند ماشین تحریر. در بعضی دیگر نتیجه روی صفحه نمایشگر كه به وسیله پرتوكاتدی روشن می شود، نمایان می شود و در ضمن این ماشین ها می توانند نتیجه اعمال را ذخیره كرده، بعداً به هنگام لزوم نمایش دهند. این دستگاه ها در حسابداری، مهندسی و تجارت كاربرد بیشتری دارند. ماشین حساب های الكترونیكی پیشرفته به علت سرعت عمل و كوچكی بر ماشین های مكانیكی برتری دارند. محاسباتی كه هم اكنون در چندصدم ثانیه انجام می شود، پنج هزار سال پیش افراد زیادی را هفته های متمادی به خود مشغول می كرد!

[فلفل نمك]

تاریخچه احتمال و خوان اول پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
● ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
● خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری:
ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.).

[فلفل نمك]

تكامل ریاضیات دوره دوم تكامل ریاضیات با سمت گیری كاربردی را (كه در ضمن دوره سوم تكامل ریاضیات بود) باید از سده هشتم تا سده شانزدهم میلادی دانست، دوره ای كه گرانیگاه آن در ایران بود. زندگی مسئله های تازه ای را پیش آورد كه باید به یاری ریاضیات حل می شد و ریاضیات نظری دوره پیش (ریاضیات یونانی) از عهده حل آنها بر نمی آمد. این مسئله ها به طور عمده مربوط می شد به اخترشناسی، مكانیك (ساختن ساعت های مكانیكی، اسطرلاب و سایر ابزارهای لازم برای رصد، ظریف تر و دقیق تر كردن وسیله های فلزی، سفالی و...) و مسئله های ناشی از اعتقادهای دینی (پیدا كردن جهت قبله، حل مسئله های مربوط به تقسیم ارث و عمل كردن به وصیت نامه ها، كه گاه بسیار پیچیده بود)، گسترش ارتباط های بازرگانی، ساختن قصرها و پرستشگاه ها، ایجاد كاریزها و آبراه ها و...
و ریاضیات با استفاده از همه دستاوردهای دوره های قبل (و به ویژه ریاضیات یونان و هند) با سمت گیری كاربردی (كه در سطحی بسیار بالاتر از ریاضیات كاربردی دوره قبل از یونان بود)، به تكامل خود ادامه داد. اگر از استثناها بگذریم، همه ریاضیدانان این دوره، از پسران «موسی شاكر» تا «جمشید كاشانی»، ایرانی بوده اند.
وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری كاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست كه در زمینه ریاضیات نظری كاری انجام نشده است بلكه تنها به این معناست كه عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
ریاضیدانان ایرانی این دوره با اطلاع از كارهای یونانیان و هندیان و با استفاده از ذخیره فرهنگی غنی قوم های ساكن ایران تلاش كردند كمبودها و شكاف های نظری ریاضیات یونانی را برطرف كنند.
آنها بارها و بارها «مقدمات» اقلیدوس را به بحث انتقادی كشاندند، روش های بطلمیوسی را كه در «المجسطی» آمده بود، تصحیح كردند و تكامل دادند، پایه های جبر و مثلثات و به طور كلی ریاضیات محاسبه ای را ریختند، با بررسی دقیق مربوط به نسبت ها مفهوم عدد حقیقی را به عنوان یك كمیت پیوسته وارد ریاضیات كردند، پایه های اصلی هندسه نااقلیدوسی را بنا نهادند، روش های ارشمیدس را در زمینه «انتگرال گیری» تكامل بخشیدند و غیره و غیره. ولی در همه این زمینه ها توجه اصلی ریاضیدانان ایرانی، به نیازهای زندگی و دانش های دیگر بوده است. خوارزمی جبر را به دلیل دشواری هایی كه در فقه اسلامی برای تقسیم ارث وجود داشت، پدید آورد. نیمه نخست كتاب «جبر و مقابله» خوارزمی، بحثی نظری درباره راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم- هم با محاسبه و هم به كمك استدلال های هندسی- است. البته خوارزمی از نمادهای جبری استفاده نمی كند و مسئله ها را به صورت توصیفی حل می كند، ولی دقت در روش های حل او، ما را به دستوری می رساند كه امروز، برای حل معادله درجه دوم، به كار می بریم.
خوارزمی و ریاضیدانان ایرانی بعد از او، عدد منفی را- جز در برخی حالت های استثنایی- به كار نمی برند، به معادله های بالاتر از درجه سوم توجهی نداشتند (خیام، در كتاب جبر خود، برخی از گونه های معادله درجه سوم را به كمك مقطع های مخروطی حل كرده است) و اغلب تنها به یكی از ریشه های معادله، اكتفا می كردند و همه اینها به دلیل توجه اصلی آنها به عمل و نیازهای زندگی بوده است. به طور مثال، ریاضیدانان ایرانی (به پیروی از ریاضیدانان یونانی)، اگر طول پاره خط راست را برابر a می گرفتند،a۲ را مربعa (یعنی مساحت مربعی به ضلع برابر a) و a۳ را مكعبa (یعنی حجم مكعبی به ضلع برابر a) می گفتند، اصطلاح هایی كه هنوز هم معمول اند. در واقع توان دوم را به معنای مساحت و توان سوم را به معنای حجم می گرفتند و چون در زندگی عملی، با جسم چهار یا پنج بعدی سروكار نداریم، بحث درباره معادله های بالاتر از درجه سوم را - جز در حالت های نادر مثل معادله های سیال كرجی - بی معنی می دانستند.
فارابی در كتاب بزرگ موسیقی خود، برای نخستین بار در جهان، نظریه علمی موسیقی را مطرح می كند و جنبه های مختلف آن را مورد بحث قرار می دهد (در تقسیم بندی فارابی از دانش ها، موسیقی بخشی از ریاضیات به شمار می آید) پیش از فارابی، اگر از موسیقی عملی عیلام و بابل و مصر و هند بگذریم، تنها در یونان بحث هایی در زمینه موسیقی در جریان بود كه بیشتر جنبه متافیزیكی داشت و آمیخته با وهم و تخیل بود.
فارابی مبانی فیزیكی و ریاضی موسیقی را بررسی كرده و نخستین كتاب علمی موسیقی را ارائه داده است. ابوالوفا و بیرونی بیش از دیگران دستورهای مثلثاتی را كشف و ثابت كردند و این به دلیل دشواری هایی بود كه در اخترشناسی و محاسبه های مربوط به آن پیش می آمد. بطلمیوس بیشتر استدلال ها و محاسبه های خود را بر اساس هندسه و قضیه ها و مسئله های آن انجام می داد و این كار را بسیار دشوار می كرد. «ابوالوفای بوزجانی» و «ابوریحان بیرونی»، برای رفع این دشواری ها بود كه مثلثات را شكوفا كردند و پیش بردند و سرانجام «نصرالدین توسی» با تالیف «كشف القناع» خود استقلال مثلثات را از هندسه اعلام كرد. «جمشید كاشانی» برای همین محاسبه های اخترشناسی (او پایه گذار رصدخانه الغ بیگ در سمرقند بود) و به این دلیل كه راه های قبلی (مانند راه ابوالوفا)، اندكی طولانی و تا اندازه ای غیردقیق بود، روش جبری حل معادله درجه سوم: ۴x۳-۳x = a را برای پیدا كردن مقدار دقیق سینوس یك درجه (از روی سینوس سه درجه) به دست آورد.
ریاضیدانان ایرانی، اندازه سینوس زاویه های ،۱۵ ،۱۸ ،۳۰ ،۴۵ ،۶۰ ،۷۲ ۷۵ درجه (و در نتیجه، كسینوس آنها) را می شناختند و مقدار سینوس سه درجه را با بسط (۱۵- ۱۸) sin به دست می آوردند. باید به این نكته اشاره كنیم كه اغلب مورخان دانش حتی با انصاف ترین آنها نتوانسته اند مقام ریاضیات ایرانی را، در مجموعه تاریخ ریاضیات به درستی و روشنی ارزیابی كنند. اغلب آنها ریاضیدانان ایرانی را تا حد مترجمان ساده نوشته های یونانی پایین آورده اند كه این ترجمه ها هم به موقع خود، به صاحبان اصلی یعنی اروپاییان برگشت داده شده است. به این ترتیب مورخان ریاضی آغاز ریاضیات را در اروپا (یونان) می دانند كه بعد از سقوط مكتب اسكندریه در سده های سوم و چهارم میلادی، دوران فترتی به وجود می آید كه تا سده پانزدهم میلادی ادامه دارد و سپس با دسترسی اروپاییان به نوشته های یونانی (از راه ترجمه عربی آنها) دوباره دنبال كار را می گیرند و آن را به امروز می رسانند.

[فلفل نمك]

نامداران علم : فيثاغورس: رياضي‌دان

فيثاغورس

رياضي‌دان (490-580 پيش از ميلاد)

زندگي

فيثاغورس حدود 589 سال پيش از ميلاد در ساموس ( يكي از جزيره‌هاي درياي اژه ) به دنيا آمد و پس از حدود يك قرن، در متاپونتوم ( شهري قديمي در جنوب ايتاليا) چشم از جهان بربست. او يكي از بزرگ‌ترين رياضي‌دانان عصر باستان است. زندگي او بيش‌تر به سير و سفر گذشته و با رمز و رازهاي فراوان آميخته است. فيثاغورس به اعداد و ارقام توجهي خاص داشت و معتقد بود كه جهان بر اساس يك مدل رياضي بنا شده است و در آن كميات و فاصله‌ها، تابع يك نظم رياضي هستند. اوگمان مي برد كه سياره‌هاي منظومه‌ي شمسي به تعداد تارهاي مرتعش چنگ ( اسباب موسيقي آن زمان يونان) است و نسبت فاصله آن‌ها نيز بايد همان نسبت طول تارها باشد. فيثاغورس و فيثاغورسيان ( پيروان فيثاغورس ) در رياضي، نجوم، فيزيك و زيست‌شناسي آثار با ارزشي به جاي گذاشتند.

آثار

فيثاغورس پايه گذار انجمني سري شد كه دستاوردهاي علمي فراوان به بار آورد. اين انجمن بيش از دو قرن دوام داشت و هر فعاليت علمي به مؤسس آن نسبت داده مي شد. قضيه‌ي فيثاغورس از كارهاي معروف او است . بر طبق اين قضيه، در مثلث قائم‌الزاويه، مربع وتر با مجموع مربع دو ضلع ديگر برابر است . او قانون‌هاي تارها را در صوت كشف كرد و توانست با استفاده از تارهاي صوتي با نسبت مشخص صوت موسيقي ايجاد و گام فيثاغورس را پايه‌گذاري كند

[فلفل نمك]

مثلث حسابی خیام بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:


(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تا***د، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید.


با تلخیص از کتاب سرگذشت ریاضی نوشته پرویز شهریاری

[فلفل نمك]

توپولوژی

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیک می‌پردازد.

تعریف
مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه:


مجموعه تهی و X عضو T باشند.
اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد.
اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد.
مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند.

اعضای X را نقاط می‌‌نامیم.


ارتباط بین دو فضای توپولوژیک
روی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است.



توابع پیوسته
فرض می‌‌کنیم (X,T)و(Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند:
تابع f:X − > Y در نقطهٔ x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعهٔ باز شامل f(x) مانند YB، مجموعهٔ بازی مانند XB شامل x وجود داشته باشد به طوری که [XB]f زیر مجموعهٔ YB باشد.
به همین ترتیب می‌‌گوییم تابع f:X − > Y در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد.

قضیه : تابع f:X − > Y در X پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند YB، مجموعه ی1-[YB]f زیر مجموعهٔ باز X باشد.

به طور خلاصه : فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.


مثال
R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند.


چند قضیه توپولوژی
هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است. و معکوس
تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است.
قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده است.
زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
هر فضای متری هاسدورف است.
به نقل از دنیای پی سی

[فلفل نمك]

عدد e پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضی دانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اولر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.


در واقع باید اعتراف کرد که اولر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اولر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.

اولر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.

در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :


P = C (1 + r/n) nt

که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود.

در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :


P = C e rt

اولر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد :


e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

لازم است ذکر شود که اولر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اولر است.

به نقل از دنیای پی سی

[فلفل نمك]

محاسبه عدد پي کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال ۱۷۰۶ از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خیوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی ۱۴۱۶/۳ است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر ۱۶۵۰/۳ بوده است . ظاهرا” سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اند.

در جریان چهار هزار سال بعد ، عددد πدچار دگرگونی های شدیدی شد . مقدار آن از ، که ارشمیدس داده بود و به صورت اعشاری آن ، ت دو رقم اعشار بعد از ممیز درست است ، به مقدار دقیق آن در سده نوزدهم رسید که تا ۷۰۷ رقم درست آن معلوم شد . در زمان ما به کمک حسابگرهای الکترونی ، مقدار عدد π تا بیش از ۱۰۰۰۰۰۰ رقم بعد از ممیز محاسبه شده است . سال ۱۸۸۲ را می تون در تاریخ عدد π ، تاریخ دگرگونی مهمی دانست . در این سال ، « لیندمان » ریاضیدان آلمانی ، خصلت اسرارآمیز این عدد را مشخص کرد : « عدد π نمی تواند ریشه ی یک معادله جبری با ضریب های صحیح باشد.»

آریان تاک

[فلفل نمك]

اضطراب رياضي مقاله بررسي اثر بخشي حالت هاي عاطفي و هيجاني ، به عنوان مولفه هاي شخصيت يادگيرنده بررفتار رياضي است. امروزه اضطراب رياضي مورد توجه و علاقه بسياري از متخصصان روان شناسي آموزش رياضي و نيز روانشاسان شناختي است تا از اين طريق تأثيرهاي هيجاني و بر انگيختگي هاي رواني شاگردان را در کار رياضي بشناسند و براي کنترل و مهارعلمي آنها راه کارهاي عملي بيابيد . در اين ميان اضطراب و فشار رواني و تعامل آنها با يادگيري رياضيات جايگاه ويژه اي را در امر آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است ؛ هر چند که در محافل علمي و آموزشي ما کمتر به آن توجه شده است.
پژوهش ها در سال هاي اخير نشان داده اند که اضطراب رياضي غير معقول ( اضطراب مرضي ) با ايجاد مانع هاي جدي شناختي و آموزشي در فراگيران ضمن ابتلاي آنان به ايست فکري و نقصان قابليت هاي استدلالي موجبات تضعيف خود باوري رياضي را در آنها فراهم مي آورد و با ايجاد نگرش منفي به شدت بر عملکرد پيشرفت رياضي فراگيران موثر مي افتد. نوشتار حاضر با مروري اجمالي بر ادبيات کار در اين عرصه مي کوشد تاضمن ارائه تعريفي از اضطراب رياضي چگونگي تعامل ميان رفتار رياضي افراد و مقوله اضطراب رياضي را نشان دهد. واژگان کليدي : اضطراب ، اضطراب رياضي ، حافظه فعال ، سبک شناختي .

مقدمه نوشتار حاضر بر آن است تا چگونگي اثر بخشي حالات عاطفي و هيجاني را که از مؤلفه هاي شخصيت فرد است بر رفتار رياضي فرد مورد بررسي قرار دهد. متأسفانه به رغم جدي بودن تأثير عوامل رواني و هيجاني بر عملکرد علمي افراد ، به ويژه در علوم پايه واز جمله رياضيات ، مطالعه در خور توجهي در اين باره به زبان فارسي موجود نيست. در حالي که شناخت و کنترل عوامل ( دروني و بيروني ) پيش برنده يا بازدارنده فراگيران در ميدان فعاليت هاي رياضي مورد توجه والدين ، مربيان و پژوهشگران است .

تغيير حالت هاي رواني و برانگيختگي ها ي آشکار فراگيران در مقابله با وضعيت هاي مختلف آموزشي و يادگيري رياضيات ، به ويژه پژوهشگران آموزش رياضي را مصمم تر مي سازد تا تأثيرات هيجاني و برانگيختگي هاي رواني را بر رفتار رياضي يادگيرنده ها – خواه دانش آموز يا دانشجو – شناخته و براي کنترل علمي و عملي آن در پي چاره بر آيند.

در اين مقاله نگارنده با بررسي و مرور منابع در دسترس و توجه به واقعيت هاي موجود در امر تعليم و تربيت رياضيات کشور نکاتي را خاطر نشان مي کند. به منظور آشکار شدن ارتباط هاي ساختاري موضوع ابتدا رفتار رياضي تعريف مي شود.

رفتار رياضي 1: ناظر بر چگونگي بروز دانش رياضي فرد در موقعيت هاي مختلف است که تحت تأثير عوامل دروني و بيروني واقع مي شود. عوامل دروني و عوامل بيروني به ترتيب نقش بردارهاي تسهيل کننده و بازدانده رفتار رياضي را ايفا مي کنند ؛ شکل 1 تا حدودي اين عوامل را ترسيم مي کند. 1.Math behaviour به نظر مي رسد عوامل ارائه شده در شکل 1 مي توانند با اثر گذاري بر عملکرد رياضي فرد موجبات رشد يا بازدارندگي علمي او را فراهم آورند. در اين ميان هيجان ها به مثابه يک عامل دروني و مؤثر در ساختار شخصيتي هر فرد مورد بحث قرار مي گيرند ؛ با توجه به اين که جداسازي مقوله شناخت از فرآيند هاي عاطفي موجب خلط در بازتابش دقيق تجربه انساني مي شود ( اسکمپ ، 1989).

هيجان خوب است يا بد ؟ هيجان را معمولاً بي قراري فکر ، احساس و يا حالت تحريک شده عقلاني 2" تلقي مي کنند که مانند بسياري از مؤلفه هاي مربوط به طبيعت انسان و فعاليت هايش تنها در جريان رشد شخصيت و تفکر او شناخته مي شود. هيجان ها ممکن است مخل يا تسهيل گر جريان تفکر و رشد آدمي باشند ؛ که در صورت مخل بودن بايد اثر بخشي آنها را بر عملکرد فرد به دقت کنترل کرد و آن را کاهش داد ، به طور که به عاملي سودمند در خدمت پويايي انديشه و شخصيت آدمي در آيد. روان شناسان ( اسکمپ ، 1989) هيجان مؤثر در کارايي و کفايت افراد را به صورت زير تقسيم بندي مي کنند: الف ) فشار رواني ؛ ب)اضطراب ؛ ج) اطمينان د) ناکامي ؛ ه) ايمني – بي هراسي پنج مقوله فوق در نيل به هدف ها تأثير گذارند. در اين ميان اضطراب و فشار رواني جايگاه ويژه اي در آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه اي و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است .

به عبارتي ، دنياي رياضيات نيز از اين مشخصه عمده قرن بيستم ، يعني اضطراب ، بي نصيب نمانده است و به دليل ويژگي هاي خاص و طبيعي اين شاخه از دانش و معرفت بشري ، آسيب پذيري فراگيران را بيش از ساير شاخه ها ي علوم محتمل مي سازد. اينک قبل از پرداختن به اضطراب رياضي ، مناسب است که ابتدا تصويري روشن از مقوله اضطراب به طور کلي داشته باشيم . اضطراب چيست ؟ در متون روان شناسي اضطراب با معاني گوناگون به کار رفته است. به طور کلي اضطراب بيانگر حالت هيجاني نامطلوبي است که محصول فشار و کشمکش هاي رواني افراد مي باشد و مشخصه بارز آن ترس از وقوع حوادث آينده است . چنانچه اين ترس و تشويش مبهم و پراکنده بوده و وابسته به چيز معيني نباشد و يا به صورت افراطي در آيد آن را اضطراب نوروتيک گويند ( استات 1، 1990). Skep 2. Oxford Concise Dictionary1- .

هرگاه فرد در وضعيتي قرار گيرد که در رويارويي با مشکلات وخطرهاي احتمالي از اعمال توانايي هاي خود نامطمئن باشد ، آن گاه او مضطرب قلمداد مي شود. مانند رانندگي روي سطح لغزنده يا شرکت در امتحان رياضي و… اصولاً تمايل به انتظار ناخوشايند از نتيجه کارها يکي از ويژگي هاي افراد مضطرب است. به علاوه ، بنابر پژوهش هاي انجام گرفته ( اليس و هانت ، 1993) اضطراب و افسردگي به نحوي به يکديگر مربوطند ؛ به طوري که افراد افسرده غالباً مضطرب هستند.

نکته قابل توجه اينست که بسيارند کساني که به نحوي دچار اضطراب و عوارض ناشي از آن هستند ، در حالي که شناخت درستي از وضعيت رواني خويش ندارند و طبعاً در صدد بهبود آن بر نمي آيند. حال به طرح پرسش ها و عناوين بحث اصلي يعني فشار رواني واضطراب در آموزش و يادگيري رياضيات پرداخته مي شود.

1- اضطراب رياضي چيست ؟

2- وجود مقوله فشار رواني و اضطراب رياضي و تأثير هاي آن بر رفتار رياضي فراگيران تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟

3- دانش رياضي معلمان ، والدين ، چگونه ممکن است ، فراگيران را در معرض ابتلا به پديده اضطراب رياضي قراد دهد ؟

4- اضطراب رياضي و تأثير آن بر فرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، سبک هاي شناختي و يادگيري و طرحواره مفهومي چگونه است ؟

5- اضطراب رياضي و اطمينان رياضي چگونه با يکديگر مربوط هستند ؟

6- اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزش در رياضيات .

7- اضطراب رياضي و جنس .

8- آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي .

9- شيوه هاي علمي کنترل وکاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي .

اضطراب رياضي چيست ؟ اضطراب رياضي وضعيتي رواني است که به هنگام رويارويي با محتواي رياضي ، چه در موقعيت آموزش و يادگيري ، چه در حل مسائل رياضي و يا سنجش رفتار رياضي در افراد پديد مي آيد. اين وضعيت معمولاً توأم با نگراني زياد ، اختلال و نابساماني فکري ، افکار تحميلي وتنش رواني و در نتيجه ايست تفکر مي باشد.

اضطراب رياضي و تأثير آن بر رفتار رياضي يادگيرنده ها تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟

اضطراب به طور کلي واضطراب رياضي به طور ويژه مي تواند ميزان حواس پرتي و هجوم افکار نامربوط را به ذهن افزايش دهد و با ايجاد اختلال در ساختار هاي ذهني و فرآيندهاي پردازش اطلاعات موجب تحريف ادراکات افراد از پديده ها و مقوله هاي رياضي شود. پژوهش هاي انجام گرفته درباره اضطراب وعملکرد افراد گواه نيرومندي بر اين واقعيت است که اضطراب ، افسردگي و به طور کلي فشارهاي رواني موجب کاهش رفتار مفيد و مؤثر اشخاص در مقابله با واقعيت هاي گوناگون مي شود ، به ويژه هنگامي که تکاليف خواسته شده داراي گام هاي فکري بيشتري باشند ( دارک ، ) باکستون 3( 1981) وجود اضطراب بالا در کلاس رياضي را به مثابه پديده اي خطرناک و بسيار مهم با تأثيرات دراز مدت مي پذيرد و بحث مي کند که چگونه هيجان هاي قوي ( از جمله اضطراب رياضي ) مي توانند موجب ايست توانايي و قدرت استدلال و نقصان در عملکرد مفيد فرد بشوند و اورا در دوري باطل گرفتار سازند. شکل زير نمايشگر دورهاي باطلي است که شخصي مضطرب در آنها گرفتار مي شود.

1- بنابر اين جانستون (1986) پيچيدگي يک تکليف يا گام هاي فکري آن (Z-demands) عبارت است از تعداد گام هايي که کم توان ترين دانش آموز ، بر اساس آموزش هاي قبلي اش براي حل موفقيت آميز يک تکليف ، طي مي کند.

2.Darke 3. Buxton کوتاه سخن ، دانش آموز درانجام فعاليت هاي رياضي دچار اضطراب شده در نتيجه نمي تواند درست بيانديشد و دانسته هاي خود را سازمان دهند ؛ از اين رو غالباً به کار و تلاش بيشتر مي پردازد ؛ در حالي که اين تلاش زياد يادگيري معنا دار مفاهيم رياضي را براي او به همراه ندارد.

بدين ترتيب با گرفتار شدن در ا ين دور دچار نااميدي وافسردگي مي شود و بيم و نگراني از عدم موفقيت در امتحان ، ميزان اضطراب رياضي او را به گونه اي چشمگير افزايش مي دهد و آنگاه دورهاي باطلي مانند (شکل 2) همزمان و هماهنگ رخ خواهند داد. لئون 1(1992) اضطراب رياضي را به مثابه عاملي مي داند که موجب اجتناب از رياضي مي شود و معتقد است که ميزان اضطراب رياضي با زمينه دانش رياضي و پيشرفت رياضي فرد ارتباطي معکوس و با اجتناب از رياضي ارتباطي مستقيم دارد.

به علاوه ، او خاطر نشان مي سازد که موفقيت در يک درس رياضي لزوماً موجب کاهش اضطراب رياضي در فرد يادگيرنده نخواهد شد. 1.Leon از سوي ديگر در برخي پژوهش ها ( مانند کلوت 1، 1984) ارتباط بين اضطراب رياضي و پيشرفت رياضي نشان داده شده است ؛ به گونه اي که پيشرفت بالا و مطلوب در رياضيات را مرتبط با اضطراب اندک فراگيران دبيرستاني تا دانشگاهي دانسته اند.

بنابر اين ميزان سطح اضطراب رياضي در افراد مي تواند به عنوان عامل پيش بيني کننده در پيشرفت رياضي آنان به شمار آيد. اصولاً فرد مضطرب ، افسرده و کم انگيزه است و براي انجام تکليف هاي پيچيده تر رياضي که نيازمند گام هاي فکري بيشتر مي باشد از قابليت هاي کمتري برخوردار است ؛ زيرا بر اساس قانون پذيرفته شده يرکز – دادسون 2 " بهترين ميزان انگيزه براي حل يک تکليف ، حد متوسط پيچيدگي در تکليف است " يعني پيچيدگي کم يا پيچيدگي زياد با ميزان انگيزه همبستگي منفي دارند ، اما پيچيدگي در حد متوسط با ميزان انگيزه همبستگي مثبت نشان مي دهند.

دانش رياضي ، معلمان و والدين ، چگونه ممکن است فراگيران را در معرض ابتلا به بيماري اضطراب رياضي قرار دهند ؟ برخي از پژوهشگران ( کلوت ، 1984) نوعي اضطراب معتدل را براي انجام فعاليت هاي مختلف از جمله رفتار رياضي مناسب و ضرور مي دانند ومعتقدند که افراد با اضطراب پايين در عرصه کار و يادگيري به طور کلي دچار نوعي خونسردي وبي تفاوتي هستند تا جايي که اين اضطراب ملايم هرگز موجبات پيشرفتشان را فراهم نخواهد آورد.

هر چند که اضطراب کنترل شده و معتدل لازمه پويايي حيات بشر و مقوله اي طبيعي براي نيل به هدف ها و تکامل بشر است ، اما سخن از اضطراب بالا يا اضطراب مرضي است که مخل جريان تفکر سالم و رشد يابنده در فرد مي باشد و به صورت مانعي جدي در برابر فعاليت هاي علمي او قرار مي گيرد. چنانچه اضطراب را به مثابه عاملي اجتناب ناپذير در عرصه آموزش و يادگيري رياضيات بدانيم ، بدون ترديد بسياري از فراگيران دچار عجز و ناتواني در عملکرد رياضي خود خواهند شد.

1.Clute 2.Yarkes-Dodson از سوي ديگر طبيعت دانش رياضي و امکان تحقق يادگيري غير معنادار براي فراگيران ، نگرش هاي غير علمي وتعليم و تربيت در رياضيات واعمال فشارهاي ناسازگار با ظرفيت هاي عقلاني فراگيران ، عدم توجه به تفاوت هاي فردي و سبک هاي يادگيري آنها و مشارکت هاي مؤثر در کار ، چگونگي ونوع اقتدار علمي واخلاقي و شخصيتي معلمان در ايجاد روابط متعادل وعدم اعتماد متقابل در کلاس درس رياضي ، هراس هاي ناشي از عدم توفيق در امتحان و انتظارهاي نابجاي والدين از فرزندان ، در شمار عواملي هستند که مي توانند موجبات بروز پديده اضطراب رياضي را در افراد فراهم آورند و احساس رضايت از فعاليت هاي رياضي را به ناخرسندي و نفرت مبدل کنند. کورنو1( 1991) با طرح ايده موانع شناختي ، به مثابه عوامل شناختي ، به مثابه عوامل بازدارنده در فعاليت هاي رياضي ، معتقد است که با درک آن موانع مشکلات دانش اندوزان در فرآيند يادگيري بهتر شناسايي و طبعاً راهبردهاي آموزشي لازم فراهم مي آيد . اين موانع عبارتند از :

1- موانع ژنتيکي و روان شناختي که محصول ساختمان ذهني سني خاص است و با تحول شناختي و تغيير مراحل قابل رفع است.

2- موانع آموزشي که در نتيجه طبيعت شيوه آموزشي و شخصيت معلم را برنامه هاي درسي رخ مي دهند.

3- موانع معرفت شناسي که در نتيجه طبيعت خود مفاهيم و مقوله هاي رياضي روي مي دهند. بديهي است که معلمان و برنامه ريزان رياضي با شناخت عوامل سه گانه پيش گفته و يافتن راه هاي غلبه بر آنها مي توانند به ميزان قابل ملاحظه اي کشمکش هاي شناختي و فکري موجود در ساختار ذهني يادگيرندگان را ، که گاه در بروز اضطراب رياضي مؤثر مي افتند ، کاهش دهند و بستري مناسب را براي يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي فراهم آورند.

1.Curno 2. didactical 3. epistemological اضطراب رياضي و تأثير آن برفرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، حافظه ، سبک هاي شناختي و يا طرحواره هاي مفهومي. بر اساس پژوهش هاي انجام گرفته ، حالات هيجاني مانند فشارهاي رواني ، اضطراب وافسردگي مي توانند نقشي مهم در فرآيند هاي شناختي و حافظه ايفا کنند. اليس1( 1993) و ولز 2(1994) معتقدند که در سطح شناختي اضطراب در تقابل با نقش مؤثر حافظه قرار مي گيرد ؛ به طوري که فراگيران مي کوشد تا يک مفهوم رياضي يا يک ايده کليدي را در حل معادلات درجه دوم و… به خاطر بسپارد . ولي هنگامي که او دچار اضطراب غير معمول رياضي باشد ، اين يادگيري وبه خاطر سپاري را به مراتب دشوارتر مي يابد. در حقيقت فراگيران در موقعيت هاي آموزشي تحت فشار قرار مي گيرند تا مطالب را بفهمند ( يادگيري معنا دار) يا يادگيري طوطي وار ( غير معنادار ) را دنبال کنند.

بنابر اين افراد مضطرب با مانعي پيچيده تر که نتيجه اي از اضطراب رياضي و يادگيري طوطي وار است ، روبه رو خواهند بود. فراگيران در يادگيري و آموزش رياضي بيشتر تحت فشار هستند که بفهمند تا به خاطر بسپارند . اما بايد توجه داشت که فهم معنادار مفاهيم رياضي به معني رد و نفي به کارگيري حافظه ونقش مؤثر آن در چگونگي پردازش اطلاعات نمي شود ، بلکه فهميدن محصول تلاش مؤثر حافظه فعال 3 يا ظرفيت عقلاني و حافظه دراز مدت در نظريه پردازش خبر 4( IPT) است که دسترسي فرد را به دانسته هايش در شرايط و موقعيت هاي مختلف بهتر فراهم مي آورد.

در هر حال " فهميدن " جانشيني براي حافظه نيست . در عين حال دسترسي به کدهاي اطلاعاتي قابل ذخيره شده در حافظه دراز مدت نيز موضوعي است که با نظريه به هر (IPT) تبيين است. حال ممکن است فرد زنجيره اي از ايده هاي به هم پيوسته رياضي را بفهمد ومهارت هايي را نيز بياموزد ، ولي با گذشت زمان آنها را از ياد ببريد.

در اين ميان اضطراب رياضي و شرايط دلهره آور کلاس و امتحان رياضي طبعاً موجب اختلال نظم و انسجام فکري و مختل شدن فرآيند پردازش اطلاعات و نقش مؤثر حافظه در دانش آموز مي شود تا جايي که وي گاه بديهيات و مسائل ابتدايي را نيز به ياد نمي آورد. 1.Ellis 2.Wells 3.Working memory 4.Information Processing Theory به علاوه به نظر مي رسد ، که افراد با اضطراب رياضي بالا کمتر قادرند تا از حافظه 7 فعال يا ظرفيت محاسبه مرکزي خود که پردازش 2 قطعه خبري واطلاعاتي را در هر لحظه برعهده دارد ، به نحو مطلوبي بهره گيري کند. در واقع به جاي انديشه هاي سازمان يافته و مربوط افکار مزاحم و نامربوط ناشي از نگراني ها و اضطراب ها ، بخش مهمي از ظرفيت عقلاني و توانايي پردازش اطلاعات را تحت تأثير قرار مي دهند وموجبات نقصان بازدهي و ضعف عملکرد علمي را فراهم مي آورند. در بررسي ارتباط بين سبک هاي شناختي و اضطراب هر چند کار چنداني انجام نشده است ، ولي هادفيلد 1( 1986) معتقد است که اضطراب بالاتر در ميان افراد ميدان وابسته * بيشتر اتفاق مي افتد تا در ميان گروه هايي با سبک شناختي ميدان ناوابسته . در عين حال مطالعات زيادي لازم است تا بررسي شود که چگونه اضطراب رياضي با سبک هاي شناختي افراد و نيز فرايند هاي پردازش اطلاعات علمي و استفاده از ظرفيت هاي عقلاني آنان در تعامل قرار مي گيرد. اضطراب رياضي و اطمينان رياضي پژوهش هاي بسياري نشان داده اند که ارتباط معنا داري بين اعتماد به توانايي يادگيري رياضي ( اطمينان رياضي ) با پيشرفت در رياضيات وجود دارد (ولز، 1994) ، به طوري که افراد با اطمينان بالاي رفتار رياضي مطلوبي دارند. فنما و شرمن 2( 1976) نشان داده اند که اضطراب رياضي با اطمينان رياضي ارتباطي نيرومند ولي منفي دارد.

1.Hadfeild *- افراد ميدان وابسته (Field – dependent) کساني هستند که در مسائل داراي رويکرد کلي هستند و در جداسازي عناصر و اجرا محيط و بافت اصلي خود ( تجزيه و تحليل ساختارها ) دچار مشکل اند ؛ در حالي که افراد ميدان ناوابسته داراي رويکرد تحليلي بوده و قابليت بيشتري در جداسازي و شناخت عناصر سازنده يک سامانه دارند ؛ در نتيجه بهتر مي توانند اطلاعات و اجزاي مزاحم را از عناصر مربوط و علامت دهنده تشخيص دهند

2.Fennema & Sherman برخي از پژوهشگران مانند برتون و راسل 1 دريافتند که فقدان زمينه کافي در رياضيات براي انجام فعاليت هاي رياضي و کمبود عزت نفس در رياضي موجب تقويت اضطراب رياضي خواهند شد. بنابر اين احساس فقدان يا ترديد در توانايي نسبت به انجام فعايت هاي مناسب رياضي در موقعيت هاي مختلف ، فرد را در معرض بروز تقويت اضطراب رياضي قرار خواهد داد و هرگاه اين احساس در يادگيرنده نهادينه شود علاوه بر ابتلاي به اضطراب رياضي نوعين طرز تقلي منفي نيز نسبت به رياضيات در کل در او ايجاد خواهد شد. گاه مشاهده مي شود که حتي دانشجويان نسبتاً خوب رياضي به دليل فقدان احساس اطمينان رياضي مناسب ، با اندک تغييري در شرايط دچار هراس واضطراب مي شوند.

به عنوان نمونه دانشجويي در مراجعه به نگارنده اظهار مي داشت. حتي تأخير در شروع جلسه امتحان رياضي او را مضطرب مي کند و يا دانشجوي نسبتاً مستعدي از گروه رياضي تقاضا داشت که به جاي شرکت درجلسه رسمي و اضطراب آور امتحان هاي رياضي ، استاد از او به طور جداگانه و يا زماني که خود دانشجو در طول ترم تعيين مي کند ، امتحان بگيرد. اينها و ده ها نمونه ديگر در ميان فراگيران رياضي گوياي اين واقعيت است که چگونه نهادينه شدن ترديد در قابليت هاي رياضي با ابتلاي فرد به اضطراب رياضي ، رفتار رياضي او را دچار مشکلات جدي مي کند.

اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزشي اتخاذ شيوه آموزشي مناسب به مثابه عاملي بروني مي تواند به گونه اي مؤثر در شکل دهي رفتار رياضي دانش آموزان و دانشجويان عمل نمايد. از آنجايي که رفتار رياضي رشد يابنده و پويا محصول تعامل و تقابل مؤثر عوامل بروني و دروني است ، بنابر اين شيوه آموزشي مفاهيم ومهارت هاي رياضي بدون توجه به عوامل دروني ، به ويژه تفاوت هاي فردي يادگيرنده ها امري غير علمي است و طبعاً بهره وري مطلوب را در يادگيري رياضيات به همراه نخواهد داشت .

در اين ميان بينش معلمان و مربيان رياضي نسبت به حالات هيجاني و روحي شاگردان در خور اهميت است تا با انتخاب روش مناسب آموزشي و فعاليت هاب کلاسي شايسته ، زمينه مشارکت بيشتر و مطلوبتر فراگيران خود را فراهم آورند. پس بدون ترديد اقتدار علمي معلمان و شيوه آموزشي آنان در تدريس و هدايت فعاليت هاي رياضي مي تواند موجب تشديد اضطراب رياضي درافراد و يا تنش زدايي آن بشود. ___________ 1.Burton & Russell کلوت (1984) در پژوهشي پي برد که تعامل و ارتباط معناداري بين (p<0/01) اضطراب رياضي و اتخاذ شيوه آموزشي وجود دارد ؛ به طوري که دانشجويان با سطح اضطراب بالاي رياضي از شيوه توصيفي در آموزش سود بيشتري مي برند ، در حالي که دانشجويان با اضطراب پايين شيوه اکتشافي را مفيد تر يافته اند.

درواقع افراد مضطرب نيازمند آرامش بيشتر و تکيه بر مباحث خوب سازمان يافته و با طراحي شفاف تر براي ياد گيري رياضي هستند. از اين رو ، نگرش توصيفي به آموزش وتدريس با ساختارهاي روشن در محيطي با نشاط و آرام در کاهش اضطراب آنها سودمند است. برعکس ، همان طوري که قبلاً بحث شد غالب فراگيران با اضطراب اندک با برخورداري از اطمينان رياضي بالاتر تمايل زيادتري به مناقشه هاي علمي و بحث و جدل با معلمان خود دارند ، در حالي که فراگيران فاقد اطمينان رياضي از درگير شدن با چنين کشمکش هايي که طبعاً اضطراب زا هستند بيزارند ( ري ز3، 1980) .

بنابر اين منطقي به نظر مي رسد که شيوه آموزش اکتشافي ، که موجب ايجاد بسط شرايط محيطي دلهره آور خواهد شد ، براي فراگيراني مناسب تر است که از اطمينان رياضي بالاتر و در نتيجه اضطراب رياضي کمتري برخورداند. ضمناً تشکيل گروه هاي کوچک کاري براي انجام فعاليت هاي رياضي در ميان فراگيران ميدان بحث و اظهار نظر را در بين آنان گشوده و با هدايت آگاهانه معلم ، گروه مي تواند فرصت مناسبي را براي يادگيري هاي مشارکتي در ميان هم شاگردان ايجاد کند و موجب رشد طرحواره مفهومي و آمادگي هاي ذهني افراد شود. در نتيجه دانش رياضي يادگيرنده ها گسترده تر مي شود .

بدين ترتيب در محيطي نسبتاً بي دغدغه شايد خود اتکايي و اطمينان رياضي فراگيران افزايش يابد و درگروهي متجانس از افراد با اضطراب بالاتر اين باور ايجاد شود که توانايي و قابليت نسبي فهم رياضي وکار رياضي را دارند. دانش ، تجربه و هنر معلمي اقتضا مي کند که با توجه به قابليت ها و وضعيت رواني کلاس تلفيقي متعادل ومتناسب از شيوه هاي آموزشي شامل روش توصيفي ، اکتشافي ، کارگروهي و انجام پروژه هاي کوچک علمي در حوصله درس ، موجبات لذت بخشي رفتار رياضي فراهم آيد.

بديهي است که لذت ناشي از مسرت بخش شدن کار رياضي در کنترل و تخفيف اضطراب رياضي به نحو قابل ملاحظه اي مؤثر است. اضطراب رياضي و جنس تفاوت و ويژگي هاي رفتار رياضي در دو جنس امري است که مورد علاقه پژوهشگران آموزشي رياضي است.

واقعاً زن بودن يا مرد بودن چگونه ممکن است بر عملکرد افراد در دروس مختلف رياضي مؤثر افتد ؟ آيا اصولاً پسران به لحاظ طبيعت و فرصت هاي اجتماعي در انجام فعاليت هاي رياضي بر دختران برتري دارند ؟

آيا جنبه هاي مختلف زيستي ، روان شناختي و حالات مختلف هيجاني از جمله اضطراب و اطمينان رياضي هيچگونه تفاوتي را در رفتار رياضي زنان و مردان نشان نمي دهد ؟

در اين خصوص دستاوردها و مناقشات علمي فراوان است اما در مورد اضطراب رياضي مي توان گفت که برخي از پژوهش ها از جمله پژوهش بروش 1(1978) نشان داده شده است که از نظر آماري به طور معناداري زنان ، در مقايسه با مردان ، نمره بالاتري را در مقياس درجه بندي اضطراب رياضي موسوم به MARS کسب کرده اند. به علاوه ، طبق گزارش بنسون 3( 1987) زنان در مقايسه با همکلاسي ها ي مرد خود در دانشگاه نمرات بالاتري را در آزمون هاي اضطراب کلي و اضطراب آمار و رياضي به دست آورده اند. در عين حال لئون (1992) پي برد که ميزان اضطراب رياضي در دانشجويان و معلمان ضمن خدمت علوم اجتماعي ، ارتباطي با جنس افراد نداشته است ؛ بلکه بايد عوامل ديگري را به منظور تبيين تفاوت عملکرد رياضي ميان زنان ومردان جستجو کرد.

1.Brush 2.Mathematics Anxiety 3.Benson در هر حال، اگر توانايي ها و قابليت هاي متفاوت ذهني و رواني و فرصت هاي مختلف اجتماعي فرهنگي مردان و زنان در عرصه ء کار رياضيات مورد تأمل قرار گيرد ، طبيعي است که ابتلاي زود هنگام تر زنان به اضطراب رياضي و ترديد شان نسبت به اطمينان رياضي را در مقايسه با مردان بپذيريم. هر چند که اين امر نيازمند مطالعات بيشتري است تا معلوم شود که چگونه پيشرفت در رياضيات تحت تأثير اضطراب رياضي و جنس قرار مي گيرد.

بديهي است که دستاوردهاي ناشي از چنين پژوهش هايي نتايج ارزشمندي را براي يادگيرندگان ، معلمان و برنامه ريزان آموزشي در رياضيات فراهم خواهد آورد. آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي چگونه مي توان ميزان اضطراب رياضي را در افراد تعيين کرد تا از گمان هاي غير علمي جلوگيري شود؟ سويين 1(1970) براي سنجش سطح اضطراب رياضي آزمون را MARS طراحي و اجرا کرد. اين آزمون شامل 98 پرسش است که بر انگيختگي هاي اضطراب آور را در فعاليت هاي رياضي افراد اندازه مي گيرد .

در اين آزمون اضطراب اشخاص بر حسب ميزان ابتلاي آنان به پنج درجه تقسيم مي شود. آزمون هاي تغيير يافته ديگري بر اساس MARS تحت عنوان RMARS توسط پژوهشگران ديگر از جمله فرگاسون2( 1986) طراحي و اجرا شده است . آزمون فرگاسون شامل 30 پرسش است که 20 پرسش آن از MARS اقتباس شده است. به اعتقاد فرگاسون ده پرسش جديد ، به گونه اي است که مي تواند عامل ديگري را در اضطراب رياضي تحت عنوان اضطراب تجريد 3 اندازه گيري کند. در واقع به کمک اين ده پرسش جديد مي توان اضطراب ناشي از کارکردن و برخورد با مقولات مجرد و نمادهاي رياضي را در افراد به ويژه در مقاطع متوسطه ، مورد سنجش قرار داد.

او با انجام پژوهش نشان داده است که اضطراب تجريد نيز عاملي است که بايد در اندازه گيري اضطراب يا رياضي اشخاص به حساب آيد. مثلاً کار کردن با مجموعه ها متغيير ها و … x,y و پارامترها m,n,a,… به جاي اعداد در مقاطع ابتدايي و راهنمايي و حتي بالاتر يا نمادهايي مانند [IxI] و [x] يا کار کردن با انتگرال هاي دو گانه يا چند گانه و… مي توانند اضطراب آور باشند. شيوه هاي علمي کنترل و کاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي افراد بديهي است پس از شناخت واقعيت هاي مربوط به حالات عاطفي و هيجاني و عمدتاً اضطراب رياضي و تأثيرشان بر عملکرد رياضي دانش اندوزان بايد راه کارهاي علمي مهار و کاهش آنها را شناسايي کرده و به طور مؤثر به کار گيريم. بديهي است که در اين ميان نقش سه گروه معلمان ؛ دانش آموزان و دانشجويان ؛ خانواده ها از جايگاه ويژه اي برخورداراست. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين جايگاه ويژه اي برخوردار است. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين مهم مي توانند ايفا کنند ، در مقطع هاي مختلف تحصيلي متقاوت است ، مثلاً در رياضيات مدرسه اي ، به ويژه سال هاي نخست فراگيري مفاهيم و مهارت رياضي ، معلمان و خانواده ها در مقايسه با دانش آموزان سهم عمده تري را در شناخت و کاهش تأثيرهاي هيجاني و تنش زا بر عهده دارند ؛ در حالي که در رياضيات دانشگاهي دانشجو اولويت و سهم بيشتري دارد. در هر صورت همکاري هاي مؤثر ومتقابل سه عنصر معلم ، دانش آموز و خانواده در قالب يک نگرش نظام دار مي تواند سازو کارهاي لازم را براي حذف موقعيت هاي هراس آور و اضطراب زا در انجام فعاليت هاي رياضي فراهم آورد. در اين زمينه توجه به نکات زير سودمند خواهد بود :

1- شناخت پديده هاي هيجاني و فشارهاي رواني ، به ويژه مقوله اضطراب ، در عرصه فعاليت هاي رياضي و تلاش براي مسلط شدن بر اين حالت ها به کمک راهکارهاي علمي . راسل در کتاب اميدهاي نو مي نويسد : بر خورد علمي با بلا و مصيبت دو حسن دارد ، يکي اينکه باعث مي شود شخص با ميل و اراده خودش آن را بپذيرد ؛ ديگر اينکه سبب خواهد شد عقل انسان در جستجوي وسايل تسکين آن بر آيد . بنابر اين برخورد علمي با پديده اضطراب رياضي از سوي همه گروه هاي ذينفع به ويژه شاگردان و انديشيدن و باور به امکان حل آن نيمي از موفقيت است.

2- توجه و برخورد علمي با تفاوت هاي فردي در ابعاد گوناگون ، به ويژه از سوي معلمان و والدين اين تفاوت ها مي تواند شامل سبک هاي مختلف شماختي " يادگيري " ظرفيت حافظه فعال ، فرايندهاي ذهني و پردازش اطلاعات ، دانش قبلي ، رجحان ها و انگيزش ها ، جنبه هاي عاطفي و رواني ، مؤلفه هاي فرهنگي – اقتصادي ، خانوادگي و جنس و… باشد.

3- تلاش براي ايجاد اعتماد متقابل بين معلمان و دانش اندوزان . نگارنده در طي نشست و گفتگويي که با جمعي از دانشجويان رياضي در يکي از دانشگاه هاي ايران داشت ؛ به ضرورت اعتماد متقابل ميان معلم و شاگرد ، به ويژه در ميان دختران دانشجو و در سال هاي اوليه ورود به دانشگاه ، به عنوان عاملي در کاهش افسردگي ها و نگراني ها پي برد.

4- تلاش براي ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات ، تقويت اطمينان رياضي در افراد ، لذت بخش ساختن فعاليت هاي رياضي و آشناسازي فراگيران با منافع و کاربرد هاي علوم رياضي در جامعه و ساير علوم بشري. متأسفانه تلقين هاي اجتماعي در همه جا از جمله جامعه خودمان به گونه اي است که افراد حتي از نخستين روزهاي آغاز رياضيات مدرسه با نوعي هراس مواجه هستند که اين هراس طبعاً اضطراب آور است. بنابر اين وحشت زدايي و مبارزه با پيشداوري هاي منفي و يأس آور همواره بايد مورد عنايت مربيان رياضي و والدين باشد. ايجاد جو ارعاب و وحشت نسبت به رياضيات نه تنها فراگيران را به تلاش هاي جدي تر وادار نمي کند ، بلکه با بر انگيختگي هاي نابهنجار ، آنان را دچار مشکلات جدي ونفرت از کار رياضي مي کند. از سوي ديگر ، تقويت باورهاي دانش آموز نسبت به قابليت ها و ظرفيت هايش واينکه هر فردي با هوش و توانايي هاي متعارف قادر به انجام نسبي کار رياضي است ، در ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات و مسرت بخش ساختن کلاس درس رياضي تأثيري جدي دارد.

5- شناخت دانش قبلي دانش آموز و رفع و ترميم کمبودهاي و مشکلات علمي فرد ، به ويژه به هنگام وارد شدن در عناوين جديد رياضي . اين عمل به نحو قابل ملاحظه اي موجب مي شود که فهم و يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي اتفاق افتد و از آموزش هاي غير معنادار و طوطي وار جلوگيري شود. به گفته اسکمپ (1989) يادگيري معنادار و احساس رضايت ناشي از آن بهترين پاداش براي فراگيران در فعاليت هاي رياضي است. آزوبل 1 معتقد است که براي آموزش بايد از محتواي دانش قبلي فرد آغاز کنيم با اين باور که واقعاً همه دانش آموزان ما يکسان نمي انديشند.

6- اصلاح شيوه هاي سنتي و متعارف سنجش رفتار رياضي ( امتحان ). شيوه کاغذ مدادي ، معمول ما براي اندازه گيري دانش آموزان و دانشجويان ، آن هم گاه با يک بار امتحان ، شايد نه عادلانه باشد و نه علمي . بلکه بيم و هراس ناشي از شرکت و توفيق در امتحان هاي رياضي همواره از آغاز سال تحصيلي ذهن و انديشه فرد را به خود مشغول مي کند و طبعاً بسياري از فراگيران را به سمتي سوق مي دهد که تنها موفقيت آنان را در اين امتحان هاي رسمي و خشک فراهم آورد. انجمن رياضي معلمان آمريکا در سال 1995 بولتني را تحت عنوان معيارهاي سنجش براي رياضيات مدرسه 2 منتشر کرده است که مطالعه و توجه به آنها براي معلمان رياضي خالي از فايده نخواهد بود.

7- اتخاذ شيوه آموزشي مناسب که اجمالاً مورد بحث قرار گرفت.

8-انتخاب آزاد دسته اي از مسائل و تکليف هاي رياضي براي درگير شدن فراگيران و هدايت آنان براي انتخاب مسائلي که هم جذاب باشد و هم چالش انگيز. اين کار براي فراگيران اين فرصت را ايجاد خواهد کرد که خود برگزينند و مسئوليت هاي انتخاب خويش را نيز برعهده گيرند ، با اين شرط که اين انتخاب ها نهايي نيستند و آنان خود بايد موجب رشد احساس قدرت و اطمينان رياضي شان بشوند. واگذاري امور پژوهش متناسب با توانايي هاي فراگيران و همسو با برنامه هاي درسي نيز از جايگاه بالايي در تعليم و تربيت رياضيات برخوردار بوده و افزايش مشارکت فعال فراگيران را به همراه خواهد داشت و از نگراني هايشان مي کاهد.

9- استفاده مناسب و بهينه از زمان درطول دوره تحصيل واراده براي کار و تلاش بيشتر. عدم تنظيم درست اوقات درسي وانباشته شدن مطالب براي روزهاي پاياني ترم بدون ترديد موجب افزايش نگراني واضطراب فراگيران خواهد شد. متأسفانه انباشتگي کتاب هاي درسي رياضي و غير رياضي در نظام آموزشي جديد ايران و زمان ناکافي و متناسب با حجم مطالب – در مقايسه با زمان نسبتاً فراخ نظام قبلي – براي آموزش و يادگيري ، هم معلمان و هم دانش آموزان را دچار نوعي اضطراب کرده است که طبعاً نقصان در عملکرد رياضي دانش آموزان را به همراه خواهد داشت.

10- تحسين و قدر شناسي همواره يکي از مشخصه هاي فعاليت هاي هنري است ، به طوري که همواره هنرمندان هر چند در ارائه ايده ها و کارهاي خود دچار نقصان و اشتباه باشند باز هم از سوي جمعي مورد حمايت وتحسين قرار مي گيرند ؛در حالي که معمولاً تلاش هاي دانشمندان و شايد فعاليت هاي خستگي ناپذير رياضي دانان کمتر مورد ستايش عمومي واقع مي شود ، زيرا طبيعتاً زيبايي و عظمت کار آنان معمولاً نامريي است . مطمئناً مي توانيم به عنوان يک مربي رياضي با ارائه زيبايي هاي نامرئي کار برخي از رياضي دانان و نيز کار خود دانش آموزان ، آنان را به انگيزش براي تلاش بيشتر و انديشيدن بهتر وادار نماييم و بسيارند دانش آموزاني که در انجام تکاليف رياضي خود از شيوه هاي ابتکاري و زيبا بهره مي گيرند. مورد تحسين قرارد دادن اين شيوه ها و بيان زيبايي هاي آنها بدون ترديد موجب تقويت اطمينان رياضي افراد مي شود و رضايت بخشي حاصل از اين ارزش گذاري بهترين انگيزش براي کار و تلاش بي دغدغه و هراس آور خواهد بود . به علاوه ، دانش آموزان درس هاي ارزشمندي را از نحوه کار و زندگي و تلاش رياضي دانان حرفه اي خواهند آموخت. رياضي دانان ازاين مزيت انتخاب برخوردارند که چگونه و با چه کساني کار کنند ، درک اين امر براي فراگيران حائز اهميت است که اين اجازه را بيابند که خودشان کار کنند و يا با دوست و دوستاني همکاري هاي مفيد علمي داشته باشند.

11- اصلاح و رفع اشتباهات درسي و علمي دانش آموزان در کلاس درس به کمک خود آنان و باطرح پرسش و پاسخ هاي مناسب وادار ساختن آنان به نوشتن بيشتر. واگذاري مسئوليت پيشرفت رياضي خوانها به خودشان امري است که امروزه بيش از پيش محققان آموزشي رياضي بر آن واقفند . در اين ميان آگاهي درست فراگيران از اشتباهات و بدفهمي هاي علمي در موقعيت هاي يادگيري و حل مسئله مي تواند به مثابه عاملي تعيين کننده در احساس مسئوليت براي رشد عملکرد رياضي آنان به حساب آيد. ضمن اينکه به خوداتکايي ، خودباوري واطمينان رياضي افراد نيزکمک سودمندي خواهد کرد. به علاوه محترم بودن فراگير در نزد هم کلاس ها و احساس ايمني و امنيت در کلاس ، خود عواملي کار آمد در اضطراب زدايي است.

12- انجام مصاحبه و مشاوره هاي علمي با يادگيرنده گاني که به نوعي در معرض ابتلا به اضطراب شديد رياضي و عدم اطمينان رياضي هستند. شايد بتوان مدعي شد که معلمان مجرب وکار آمد بهترين کساني هستند که مي توانند مورد اعتماد دانش آموزان و دانشجويان قرار گيرند و با شناخت مشکلات هيجاني و رواني آنان ، راه کارها اجرايي غلبه بر اين حالات را به کمک خود فراگيران بيابند و در تنش زدايي درسي آنان مؤثر افتند.

مآخذ

Reference Backhiuse T J,; Haggarty , h ; pirie,s.and Stratton ,J.(1992),London : Cassell. Benson , J. (1987). Causal components of test of anxiety in adelts : an exploratory study paper presented at the annual meeting of the society for Test Anxiety. Brush , L. R. (1978) .A validation study of the mathematics anxiety rating scale (MARS) .Elemantary and Psychigcal Measurment , 38, 485-490. Bueton , G .M ., and Russell , D.(1979) . Getting Cimfirtable with mathematics . Epemtaey school journal, 79, 129- 135. Buxton, L. (1981) . Do you panic about maths ? ( coping with maths anxiety ). Heinemann Educational. Clute , P.S.(1984) .Mathematiccs anxity , Intructional Mathod , and achivevement in a survey ciurse in college mathecatics . Joutmal for Research in Mathematics Education vol . 15. No. l , 50-58. Cornu , B. (1991).Limit .in advanced mathematical thinking .edited by tell. D., The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Darcs , S.(1988) Anxiety and working memory capacity . cognition and Emotion , 2,145-154. Ellis,H,C.and Hunt , R.R. (1993). Fundementals of Cognitive psychology . fifth edition ; V. S. : Brown & Benchmark (WCB)Publishers. Fennema, E.and Shorman , J.(1976). Fennema – Sherman Mathemationicc Attitude scales .JSAS: Catalog of selected Doocuments in Psychology , 6, 31. (MS.NO. 421). Ferguson , R.D.(1986). Abstracion Anxiety: A factor of mathematics anxiety. Journal For Research in Mathematics Education , 17,145-150. Hadfiel, d,O.D. (1986). Cognitive styles and mathematics anxiety among high school students (field- dependence / independence). Ed. D. Dissertation, Northern Arizona University (DAl 47/05A, P. 1590, Publication No: AAC 861739) Johnstone .A.H&El- Banna, H. (1986). Capacities , demands and processes . Education in Chemistry, May. Leon , B .C (1992).A study of prevalence and intensity of mathematics anxiety in college students and preservice and preservice teachers at Large Southern University .ph.D Thesis , The University of Tennessee (DAl- A 52/12, p.4253. Order No: AAC 9212735. Reyes, L.H. (1980). Attiudes and mathematics. In M .M. Lindquist (Ed.) , selected issues in mothematics education , p. 161-1824, Berkely, CA: McCutchan . Skemp. R.R.(1989).Mathematics in the primoary school . London : Routhedge. Statt, D.A. (1990). The Concicis dictionary of psychology . London : Routledge. Suinn,R,M.(1970).Anxiety, in sight and appreciation Mathematics Teaching 147.P.8-11.